En mathématiques, l'ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite de nombres complexes définie par récurrence est bornée par :
{ z0 = 0; zn+1 = zn2+c
L'ensemble de Mandelbrot a été découvert par Gaston Julia et Pierre Fatou1 avant la Première Guerre mondiale. Sa définition et son nom actuel sont dus à Adrien Douady, en hommage aux représentations qu'en a réalisées Benoît Mandelbrot dans les années 1980. Cet ensemble permet d'indicer les ensembles de Julia : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes. Cet ensemble est donc intimement lié à l'ensemble de Julia, ils produisent d'ailleurs des formes similairement complexes.
Les images de l'ensemble de Mandelbrot sont réalisées en parcourant les nombres complexes sur une région carrée du plan complexe et en déterminant pour chacun d'eux si le résultat tend vers l'infini ou pas lorsqu'on y itère une opération mathématique. On considère la partie réelle et imaginaire de chaque nombre complexe comme des coordonnées et chaque pixel est coloré selon la rapidité de divergence, ou si elle ne diverge pas.
Les images de l'ensemble de Mandelbrot exposent une limite élaborée qui révèle progressivement des détails récursifs toujours plus fins en augmentant le grossissement. La limite de l'ensemble est constituée de plus petites versions de la forme principale, donc la propriété fractale de l'autosimilarité s'applique à l'ensemble tout entier (et pas simplement à certaines parties).
L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaire hors des mathématiques, comme inspiration artistique et comme exemple de structure complexe venant de l'application de règles simples. C'est l'un des exemples les plus connus de visualisation mathématique.
Vallée baptisée vallée des hippocampes
Sur la plus longue antenne, celle qui mène à la queue de l'hippocampe, on reconnaît une copie réduite de l'ensemble de Mandelbrot, appelée aussi satellite.
L'extrémité de la queue, enroulée en spirale, est aussi un point de Misiurewicz.
Cette structure complexe est composée d'un seul et unique chemin qui mène jusqu'à l'extrémité de la queue. L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble simplement connexe, ce qui signifie qu'il n'y a ni boucles, ni ilots.
Un exemple d'autosimilarité : La frontière de l'ensemble de Mandelbrot contient une infinité de copies de lui-même. Quel que soit le lieu on l'on zoome on en trouvera toujours au moins un. Les deux spirales sont le début d'une série de couronnes concentriques, avec le satellite en son centre.
Neuvième étape - description ci-contre L'antenne du satellite. On peut distinguer plusieurs satellites du deuxième ordre.
Spirales doubles et hippocampes. Contrairement à la première vallée, celle-ci est peuplée, en plus, de légères structures spirales. Dans un satellite d'ordre n cohabitent n+1 types de structures différentes. Pour ce satellite d'ordre 1 coexistent donc 2 types de structures différentes.
La « vallée des hippocampes » du satellite. Toutes les structures déjà rencontrées précédemment réapparaissent.
Ces structures légères rappellent celles de certains ensembles de Julia. Là encore, ce motif très torturé n'est constitué que d'un seul filament.
Des îlots apparaissent, à la manière d'une poussière de Cantor. La forme générale est celle d'un ensemble de Julia Jc. Toutefois, contrairement à un ensemble de Julia, ces points sont tous connectés, car nous sommes toujours dans l'ensemble de Mandelbrot. La forme générale de cet ensemble n'est pas celle de l'ensemble de Julia associé à cette position. Il s'agit de l'ensemble de Julia que nous aurions obtenu si nous avions sélectionné, au début de notre exploration, un point à proximité d'une double spirale au lieu d'un hippocampe.
Ces structures sont elles-mêmes connectées à une structure centrale que nous pourrions découvrir si nous poussions encore plus loin le grossissement. En théorie, le grossissement pourrait ainsi être infini, et faire découvrir sans cesse de nouvelles structures. Pour en voir davantage, cliquer sur l'animation en haut à droite de cette section.