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SCIENCE - NEO-EVHEMERISME - DONJONSDRAGONS

Les points de Lagrange

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Un point de Lagrange est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément l'orbite des deux corps. Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps de masse négligeable resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens où il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue.

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE

Joseph Louis, comte de Lagrange (Giuseppe Lodovico de Lagrangia), né à Turin le 25 janvier 1736 et mort à Paris le 10 avril 1813 , est un mathématicien, mécanicien et astronome italien.

Il prend goût pour les mathématiques par hasard à l'âge de 17 ans après la lecture d'un mémoire de Edmund Halley portant sur les applications de l'algèbre en optique. Le sujet l'intéresse au plus haut point. Dès lors, il se passionne pour les mathématiques qu'il étudie seul et assidûment. Il devient rapidement un mathématicien confirmé et ses premiers résultats ne se font pas attendre. Dans une lettre adressée à Leonhard Euler, il jette les bases du calcul variationnel. Cet échange est le début d'une longue correspondance entre les deux hommes. Lagrange a alors 19 ans et enseigne à l'école d'artillerie de Turin où il fut nommé en 1755. Il fonde en 1758 l'Académie des Sciences de Turin qui publiera ses premiers résultats sur l'application du calcul variationnel à des problèmes de mécanique. En 1764, ses travaux sur les librations de la Lune sont récompensés par le Grand Prix de l'Académie des Sciences de Paris.

Lagrange quitte sa ville natale en 1766 pour s'installer à Berlin où il est nommé directeur de la classe mathématique de l'Académie de Berlin, succédant ainsi à Euler. Le roi Frédéric II de Prusse souhaitait que « le plus grand roi d'Europe » ait « le plus grand mathématicien d'Europe ». Il se marie un an plus tard mais n'aura pas d'enfants. Commencent alors vingt années de publications aussi régulières que le permet la santé fragile de Lagrange. Ses travaux, qui s'inscrivent dans les mathématiques et la mécanique, font de lui un nom incontournable dans ces domaines. Il se consacre à des problématiques variées : Algèbre, calcul infinitésimal, probabilités, théorie des nombres, mécanique théorique, mécanique céleste, mécanique des fluides, cartographie... Ce sont plus de 80 mémoires qui sont publiés par Lagrange durant cette période berlinoise. Le décès de sa femme en 1783 après de longues années de maladie le plonge dans la dépression. Trois ans plus tard, la mort du roi Frédéric II rend sa position à Berlin inconfortable. Il reçoit de nombreuses propositions d'emplois venant d'Italie et de France. Le mathématicien convoité retient l'offre de l'Académie des Sciences de Paris, qui n'inclut pas d'enseignement et quitte définitivement Berlin en 1787.

Lagrange publie son célèbre livre de Mécanique analytique en 1788, alors membre de l'Académie de Paris. Cet ouvrage, écrit lorsqu'il était encore en Allemagne, est l'aboutissement de ses travaux en mécanique et en analyse ce qui en fait l'élément phare de son œuvre. Par chance, il n'est pas inquiété lors de la Révolution française. Il doit à son génie d’échapper aux mesures de répression contre les étrangers. Des arrêtés spéciaux du Comité de salut public lui permettent de continuer d’exercer ses fonctions. Il participe à partir de 1791 à la

Commission des Poids et Mesures, il est donc l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités. L'Académie des Sciences est supprimée en 1793 et un an plus tard, son collègue et ami Lavoisier est exécuté, victime du règne de la Terreur. Cet événement le touche beaucoup, il déclare à son sujet: "Il a fallu un instant pour couper sa tête, et un siècle ne suffira pas pour en produire une si bien faite." Lagrange devient le premier professeur d'analyse de l'École polytechnique fondée en 1794 et enseigne un an plus tard à l'École normale. Il continue à publier des ouvrages d'analyse, on peut citer:Théorie des fonctions analytiques (1797) et Leçons sur le calcul des fonctions (1800).

Napoléon  montra son estime toute particulière pour Lagrange : il le nomma membre du Sénat conservateur le 25 décembre 1799 avec Monge et Laplace , membre de la Légion d'honneur, grand officier de l'Ordre, puis comte de l'Empire et grand'croix de l'ordre de la Réunion.

Il décède à Paris à l'âge de 77 ans, laissant derrière lui une œuvre conséquente qui a permis des avancées dans toutes les branches des mathématiques et de la physique de son époque.

Surtout connu pour avoir introduit la méthode analytique en géométrie, il n’en a pas moins étudié toutes les branches des mathématiques et a laissé d’importants travaux tant en géométrie qu’en trigonométrie et en mécanique. Il est inhumé au Panthéon de Paris.

Fondateur du calcul des variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, il démontre le théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la décomposition d’un entier en quatre carrés. Son nom figure partout en mathématiques. On lui doit un cas particulier du théorème auquel on donnera son nom en théorie des groupes, un autre sur les fractions continues, l’équation différentielle de Lagrange.

En physique, en précisant le principe de moindre action, avec le calcul des variations, vers 1756, il invente la fonction de Lagrange, qui vérifie les équations de Lagrange, puis développe la mécanique analytique, vers 1788, pour laquelle il introduit les multiplicateurs de Lagrange. Il entreprend aussi des recherches importantes sur le problème des trois corps en astronomie, un de ses résultats étant la mise en évidence des points de libration en 1772.

Il élabore le système métrique avec Lavoisier pendant la Révolution. Il est membre fondateur du Bureau des longitudes avec, entre autres, Laplace et Jean-Dominique Cassini.

En mécanique des fluides, il introduisit le concept de potentiel de vitesse en 1781, bien en avance sur son temp. Il démontra que le potentiel de vitesse existe pour tout écoulement de fluide réel, pour lequel la résultante des forces dérive d’un potentiel. Dans le même mémoire de 1781, il introduisit, en plus, deux notions fondamentales : le concept de la fonction de courant, pour un fluide incompressible, et le calcul de la célérité d’une petite onde dans un canal peu profond.

LES POINTS DE LAGRANGE

En mécanique céleste, il est un sujet qui a passionné de nombreux mathématiciens : c'est le problème dit des trois corps. Newton, après avoir énoncé sa loi qui exprime que « les corps s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance de leurs centres », a cherché à décrire le comportement de trois corps sans y parvenir. Il faut attendre le mathématicien Joseph-Louis Lagrange qui, en 1772, étudia le cas d'un petit corps, de masse négligeable, soumis à l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une planète. Il découvrit qu'il existait des positions d'équilibre pour le petit corps, des endroits où toutes les forces se compensent.

Un point de Lagrange (noté L1 à L5), est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément l'orbite des deux corps. Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps de masse négligeable resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens où il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue. Au nombre de cinq, ces points se scindent en deux points stables dénommés L4 et L5, et en trois points instables notés L1 à L3. Ils interviennent dans l'étude de certaines configurations d'objets du Système solaire et dans le placement de divers satellites artificiels.

Les trois points L1, L2 et L3 sont parfois appelés les points d'Euler, en l'honneur de Leonhard Euler, l'appellation de points de Lagrange étant alors réservées aux deux points L4 et L5.

Un objet de faible masse situé en ces points n'en bouge plus relativement aux deux autres corps, et tourne de concert avec eux.

Trois des points de Lagrange sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans le cas d'une grande dissymétrie de masse entre ceux-ci, deux points sont situés proches et de part et d'autre du corps peu massif, alors que le troisième est quasiment situé à l'opposé du corps peu massif par rapport au corps massif.

Si on donne en exemple les points de Lagrange du système Soleil-Terre, ces cinq points sont notés et définis comme suit (échelle non respectée) :

- L1 : sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci, la position exacte dépendant du rapport de masse entre les deux corps ; dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible que l'autre, le point L1 est situé nettement plus près du corps peu massif que du corps massif.

- L2 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite. Dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible, la distance de L2 à ce corps est comparable à celle entre L1 et ce corps.

- L3 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande. Dans le cas où l'un des deux corps est notablement moins massif que l'autre, la distance entre L3 et le corps massif est comparable avec celle entre les deux corps.

- L4 et L5 : sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses. Sans qu'il y ait de consensus précis, L4 est celui des deux points en avance sur l'orbite de la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces points sont parfois appelés points de Lagrange triangulaires ou points Troyens, du fait que c'est le lieu où se trouvent les astéroïdes troyens du système Soleil-Jupiter. Contrairement aux trois premiers points, ces deux derniers ne dépendent pas des masses relatives des deux autres corps.

Le calcul de la position des points de Lagrange se fait en considérant l'équilibre d'un corps de masse négligeable entre le potentiel gravitationnel créé par deux corps en orbite et la force centrifuge. La position des points L4 et L5peut être obtenue analytiquement. Celle des trois autres points L1 à L3 s'obtient en résolvant numériquement ou éventuellement à l'aide d'un développement limité une équation algébrique. La position de ces trois points est donnée dans le tableau ci-dessous dans le cas où la masse d'un des deux corps (en l'occurrence le numéro 2) est négligeable devant l'autre, situé à une distance R du précédent. Les positions sont données le long de l'axe reliant les deux corps, dont l'origine est identifiée au centre de gravité du système, et dont l'orientation va du corps 1 au corps 2. Les quantités r2 et q dénotent respectivement la position du corps 2 sur l'axe et le rapport de la masse du corps le plus léger à la masse totale des deux corps. Enfin, on utilise la quantité ε définie par ε = (q / 3)1/3.

L1
L1
L2
L2
L3
L3

Dans la littérature, on trouve parfois des expressions quelque peu différentes, du fait que l'origine de l'axe est prise ailleurs que sur le centre de gravité, et que l'on utilise comme terme à la base du développement limité le rapport entre les deux masses plutôt que le rapport de la plus petite à la masse totale.

Le calcul ci-dessus n'indique en rien si les points de Lagrange sont stables. La stabilité ou non de ces points est du reste peu intuitive. Dans le référentiel tournant avec les deux corps, une particule d'épreuve peut être vue comme soumise à un potentiel incluant la contribution gravitationnelle et celle de la force centrifuge.

Ω
Ω

Tous les termes de ce potentiel sont négatifs et décroissent à mesure que l'on s'éloigne des masses (pour les deux premiers termes) ou du centre de gravité du système (pour le troisième). On peut ainsi montrer que les points de Lagrange L4 et L5 sont des maxima locaux du potentiel Ω et que les trois autres points sont des points selles. D'ordinaire, une position d'équilibre (déterminée par l'annulation des dérivées du potentiel) est stable uniquement si on se situe dans des minima locaux du potentiel. Cependant, étant donné que l'on est dans un référentiel tournant, le référentiel est non inertiel. Un objet se déplaçant dans ce référentiel, par exemple au voisinage d'une position d'équilibre, va être soumis à la force de Coriolis, et son mouvement ne dépend pas uniquement de la forme du potentiel. Pour étudier la stabilité des points de Lagrange, il faut donc tenir compte de la force de Coriolis.

DANS LE SYSTEME SOLAIRE

Les points L4 et L5 sont généralement stables, aussi on y trouve de nombreux corps naturels, dits troyens :

- dans le système Soleil-Jupiter, on recense (en 2011) environ 5000 astéroïdes aux points L4 et L5;

- dans le système Soleil-Neptune, huit;

- dans le système Soleil-Mars, quatre;

- dans le système Saturne-Téthys, les points L4 et L5 sont occupés par Télesto et Calypso, respectivement;

- dans le système Saturne-Dioné, Hélène et Pollux occupent ces points.

Curieusement, il semblerait que le système Soleil-Saturne ne soit pas en mesure d'accumuler des troyens du fait des perturbations joviennes.

Dans le système Soleil-Terre, on connait (depuis peu) un troyen au point L4, l'astéroïde 2010 TK7, qui mesure 300 mètres de diamètre. Certains astronomes soulignent que cet objet pourrait représenter un risque comparable aux géocroiseurs. Ces auteurs proposent également que l'impacteur supposément à l'origine de la Lune (Théia) aurait stationné un temps sur le point L4 ou L5 et accumulé de la masse avant d'en être éjecté sous l'action des autres planètes.

APPLICATIONS

Les points L1 et L2 sont des équilibres instables, ce qui les rend utilisables dans le cadre de missions spatiales : on n'y trouve pas de corps naturels, et un équilibre dynamique peut y être maintenu pour une consommation de carburant raisonnable.

Les principaux avantages de ces positions, en comparaison des orbites terrestres, sont leur éloignement de la Terre et leur exposition au Soleil constante dans le temps. Le point L1 se prête particulièrement à l'observation du Soleil et du vent solaire. Ce point a été occupé pour la première fois en 1978 par le satellite ISEE-3, et est actuellement occupé par les satellites SoHO et Advanced Composition Explorer. Le point L2 est à l'inverse particulièrement intéressant pour les missions d'observation du cosmos, qui embarquent des instruments de grande sensibilité devant être détournés de la Terre et de la Lune, et fonctionnant à très basse température. Il est actuellement occupé par les satellites Herschel, Planck, WMAP et Gaia.

Il a été un temps envisagé de placer un télescope spatial au point L4 ou L5 du système Terre-Lune, mais cette option a été abandonnée après que des nuages de poussière y aient été observés.

Images

Bibliographie