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SCIENCE - NEO-EVHEMERISME - DONJONSDRAGONS

Introduction au binaire

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Le  système binaire  est un  système de numération  utilisant la base  2. On nomme bit  (binary digit) les  chiffres  binaires, soit 0 et 1 (2 chiffres / base 2). Il est équivalent au système décimal que nous utilisons dans la vie courante (10 chiffres / base 10).

Ainsi lorsque nous comptons en décimal, chaque chiffre d'un nombre représente une une puissance de 10. Prenons le nombre 146. On peut le décomposer comme suit  : 1 X 100 + 4 X 10 + 6 X 1 ou encore 1 X 10^2 + 4 X 10^1 + 6 X 10^0 (^ symbolisant la puissance).

En binaire c'est exactement la même chose sauf que nous n'avons que les chiffres 0 et 1 et que nous utilisons des puissances de 2. Par exemple 1101 en binaire peut se décomposer ainsi  : 1 X 2^3 + 1 X 2^2 + 0 X 2^1 + 1 X 2^0. Cela nous donne lorsque nous faisons le calcul 8 + 4 + 0 +1 soit 13 en décimal (base 10).

L'avantage du système binaire - et c'est pour cela qu'il est utilisé en électronique et en informatique - , c'est que l'état 0 peut être représenté par une absence de courant électrique et l'état 1 par la présence de courant électrique (ou une tension).

COMPTER

En décimal nous comptons ainsi  : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 …

En binaire cela donne  : 0 ,1 , 10, 11, 100, 101, 110 , 111, 1000, 1001, 1010, 1011 …

Comme en base 10, lorsque l'on ajoute 1 et que l'unité est le chiffre le plus fort de la base, on ajoute 1 à la puissance supérieure et l'unité prend 0. Si la puissance supérieure est déjà à 1 on répète l'opération. En décimal on passe de 99 à 100 de cette manière, en binaire c'est la même chose après 11 vient 100.

Les opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division) fonctionnent exactement de la même manière quelque soit la base. Les opérations ne peuvent se faire qu'entre nombres de la même base.

Pour les entiers négatifs, en informatique il a été défini que le bit de tête représenterait le signe, ainsi un 0 signifie un entier positif et un 1 un entier négatif. Un système de complémentarité à 2 a été mis en place pour faciliter les calculs. Lorsque un entier est négatif, tous ses bits sont inversés, le bit de tête passe à un et on ajoute 1 au tout. Par exemple si l'on fait l'addition de 7 et -5  cela nous donne  : 0111 + 1011 = (1)0010. La dernière retenue est ignorée et le résultat donne bien 2.

L'ALGEBRE DE BOOLE

L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des  mathématiques, de la  logique  et de l'électronique  qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. Plus spécifiquement, l'algèbre booléenne permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du  calcul des propositions. Elle fut initiée en 1854 par le mathématicien britannique  George Boole.

Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des  circuits électroniques. Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation téléphoniques par  Claude Shannon.

Valeurs de vérité

Tables de vérités OU NON ET
Tables de vérités OU NON ET

L'ensemble des  valeurs de vérité  est constitué des valeurs VRAI et FAUX, ou encore 0 et 1.

Sur cet ensemble on peut définir deux opérations (ou lois)  : ET et OU.

ET (conjonction)

Cette opération n'est vrai que si les opérandes de l'opérateur sont vrai.

Prenons les opérandes a et b. Si a et b sont vrai alors l'opération est vrai, mais si a est faux ou b est faux ou les deux sont faux, alors le résultat est faux.

Le symbole de cette opération est le . (point).

OU (disjonction)

Cette opération est vrai si au moins l'une des deux opérandes est vrai.

Ainsi si a est vrai, ou b est vrai, ou les deux sont vrai, alors le résultat est vrai. Si les deux sont fausses, alors le résultat est faux.

Le symbole de cette opération est le + (plus).

NON (Négation)

Cette opération renvoie le contraire de l'opérande.

Si a est vrai le résultat est faux, si a est faux le résultat est vrai.

La négation d'une négation donnera un résultat égale à l'opérande.

Le symbole de cette opération est une barre au dessus de l'opérande.

Il a été décidé que l'opérateur ET était prioritaire sur l'opérateur OU.

FONCTIONS LOGIQUES

En électronique, une fonction logique est une  boîte noire  qui reçoit en entrée un certain nombre de variables logiques et qui rend en sortie une variable logique dépendant des variables d'entrée.

Une  table de vérité  permet de préciser l'état de la sortie en fonction des états des entrées.

Toute table de vérité, et donc toute fonction logique, peut se décrire à l'aide des trois opérations de base  ET, OU et NON (voir l'image pour les tables de vérité).

On dispose de fonctions logiques plus avancées composées à partir des trois fonctions logiques simples :

OU EXCLUSIF (disjonction exclusive)

Table de vérité du XOR
Table de vérité du XOR

Notée XOR, cette fonction vaut 1 uniquement lorsque les opérandes sont de valeurs différentes. Si les opérandes ont la même valeur alors le résultat est 0. Cela peut s'écrire  ; ('a' ET NON 'b') OU (NON 'a' ET 'b').

EQUIVALENCE

Notée EQV ou SNOR, cette fonction vaut 1 uniquement si les opérandes sont de même valeur. Si les opérandes sont de valeur différentes alors le résultat est 0. On peut l'écrire  : NON ('a' OU 'b') OU ('a' ET 'b'), ce qui est égale à  : (NON 'a' OU 'b') ET ('a' OU NON 'b').

I

MPLICATION

Notée IMP, cette fonction vaut 1 si l'opérande 'a' est une condition suffisante pour 'b' qui est une condition nécessaire pour ''a'. Elle ne vaut donc 0 que si 'a' vaut 1 et 'b' vaut 0. On peut l'écrire  : NON 'a' OU 'b'.

INHIBITION

Notée INH, cette fonction ne vaut 1 que si 'a' vaut 1 et 'b' vaut 0. On peut l'écrire  : 'a' ET NON 'b'.

L'application de cette logique en électronique ou en informatique fera l'objet d'un prochain article.

Images

Bibliographie